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INTÉGRALES
ment à zéro, dans l’équation somme, les coefficiens de
il viendra
![{\displaystyle M+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0,\qquad N+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0,\qquad 1+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20a508a531a9bdefec483664bbf396ac1dcce76)
d’où on conclura, par l’élimination de ![{\displaystyle \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&M\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1},\\\\&N\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7c56719f067b96c6bf25a87e791a08bb62f91f)
mais, en différentiant l’équation
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y_{1}}}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3192f947d3f2a48147e3c23277407d8613bc13)
mettant donc dans ces dernières les valeurs de
et
tirées des précédentes, il viendra, en supprimant le facteur ![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc0147164e32a0d6d1bad392a026538576e3475)
![{\displaystyle M+{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,\qquad N+{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y_{1}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef839e16f1a924521540760934883d34315c4bb6)
ce qui prouve que la plus courte ligne d’un point à une surface courbe est la normale menée de ce point à cette surface ; d’où il est facile de conclure que la plus courte ligne entre deux surfaces courbes est la normale qui leur est commune.