Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/87

83

INDÉTERMINÉES.

Solution. Soit $(a_{0},b_{0},c_{0})$ le point donné, et soit $L=0,$ l’équation en $x,y,z$ de la surface donnée ; on aura d’abord, comme dans le précédent problème, pour les équations générales de la ligne cherchée

$x=Mz+G,\qquad y=Nz+H,$

En exprimant que cette droite passe par le point $(a_{0},b_{0},c_{0})$ ces équations deviendront

$x-a_{0}=M(z-c_{0}),\qquad y-b_{0}=N(z-c_{0}),$

et tout se déduira à déterminer les constantes $M$ et $N.$

À cause de la première limite fixe, l’équation aux limites sera simplement (19) ; en supprimant le dénominateur commun,

$x'_{1}X_{1}+y'_{1}Y_{1}+z'_{1}Z_{1}=0\,;$

ou, en mettant pour $x'$ et $y'$ leurs valeurs $Mz',Nz',$ et divisant par $z',$

$MX_{1}+NY_{1}+Z_{1}=0\,;$

en y ajoutant le produit de l’équation

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}Z_{1}=0,$

par un multiplicateur indéterminé $\lambda ,$ et égalant ensuite séparé-