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INTÉGRALES
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\left[x''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-x'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]X\\+&\left[y''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-y'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]Y\\+&\left[z''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]Z\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b320a225a0a5777522a19a4b0beb57841117a284)
dans laquelle il faudra égaler séparément à zéro les coefficiens de
Cela ne donnera que la double équation
![{\displaystyle {\frac {x''}{x'}}={\frac {y''}{y'}}={\frac {z''}{z'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8a58fcd74cb7262f941b0273cd7a03e35aa63f)
ou, par une première intégration
![{\displaystyle x'=Mz',\qquad y'=Nz',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442b5f80ac3e1feac0e97813603413fa33c43ff)
et ensuite
![{\displaystyle x=Mz+G,\qquad y=Nz+H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e127f63e2ebf2fa2a845ee5aa969254049e3ae)
exprimant ensuite que cette droite passe par les deux points donnés, on aura, en éliminant les constantes arbitraires, pour les équations de la ligne cherchée
![{\displaystyle {\frac {x-a_{0}}{a_{1}-a_{0}}}={\frac {y-b_{0}}{b_{1}-b_{0}}}={\frac {z-c_{0}}{c_{1}-c_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1d93deb2fefee478ff7aa51204c306c0610a63)
78. PROBLÈME IX. Quelle est, dans l’espace, la plus courte ligne d’un point donné à une surface donnée ?