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INDÉTERMINÉES.

courbe plane d’un point situé dans le plan de cette courbe est en général, une ligne droite. Voyons présentement quelle en doit être la direction.

D’après les précédentes déterminations, l’équation (7) devient

${\frac {x'_{1}}{\sqrt {x_{1}'^{2}+y_{1}'^{2}}}}X_{1}-{\frac {x'_{0}}{\sqrt {x_{0}'^{2}+y_{0}'^{2}}}}X_{0}+{\frac {y'_{1}}{\sqrt {x_{1}'^{2}+y_{1}'^{2}}}}Y_{1}-{\frac {y'_{0}}{\sqrt {x_{0}'^{2}+y_{0}'^{2}}}}Y_{0}=0\,;$

ou, en y mettant pour $y'_{0}$ et $y'_{1}$ leurs valeurs $Mx'_{0},Mx'_{1},$

${\frac {1}{\sqrt {1+M^{2}}}}\left(X_{1}-X_{0}\right)+{\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}\left(Y_{1}-Y_{0}\right)=0\,;$

or, comme à la première limite on doit avoir $x=a,\ y=b,$ il s’ensuit qu’on doit avoir aussi (64) $X_{0}=0,Y_{0}=0\,;$ de sorte que l’équation aux limites se réduit simplement à

${\frac {1}{\sqrt {1+M^{2}}}}X_{1}+{\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}Y_{1}=0\,;$

mais, à la seconde limite, on doit avoir, entre $x$ et $y,$ l’équation de relation $L=0,$ ce qui donnera (65)

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}=0.$

Ajoutant le produit de cette équation par $\lambda$ à la précédente, il viendra

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {1+M^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}\right\}X_{1}+\left\{{\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}\right\}Y_{1}=0\,;$

égalant alors à zéro les coefficiens de $X_{1}$ et $Y_{1},$ on aura les deux équations