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INTÉGRALES

$\left.{\begin{aligned}&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'''+\ldots ,\\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots ,\end{aligned}}\right\}.\ (6)$

lesquelles seraient deux équations distinctes en $x,y$ et $t,$ si $x$ et $y$ étaient des fonctions déterminées de $t\,;$ de sorte qu’il faudrait éliminer $t'$ entre leurs intégrales pour parvenir à la relation cherchée entre $x$ et $y\,;$ mais, comme ce n’est réellement que par une sorte de fiction que $x$ et $y$ sont considérés comme des fonctions de $t,$ et que ces fonctions demeurent absolument indéterminées, il arrivera que les deux équations (6) devront admettre un facteur commun qui, égalé à zéro, sera de même forme qu’une équation primitive en $x$ et $y$ seulement qu’on aurait différentiée une ou plusieurs fois, en y considérant $x$ et $y$ comme des fonctions de $t,$ et par conséquent en y faisant varier $\operatorname {d} x$ aussi bien que $\operatorname {d} y\,;$ en posant donc, dans cette équation, $t=x,$ d’où $x'=1,\ x''=0,$$x'''=0,\ldots$ on aura, sous forme différentielle, la relation cherchée entre $x$ et $y.$

62. Marquons présentement des indices $0$ et $1$ ce que doivent devenir, aux deux limites de l’intégrale, toutes les diverses quantités dont se compose l’équation (5) ; cette équation devant avoir lieu à ces deux limites, domine dans tout le reste de l’intégrale, on devra avoir, à la fois,

$Const.=\left\{{\begin{aligned}&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}''-\ldots \right]X_{0}\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}'+\ldots \right]X_{0}'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}-\ldots \right]X_{0}''+\ldots \\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots \right]Y_{0}\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots \right]Y_{0}'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots \right]Y_{0}''+\ldots \\\\\end{aligned}}\right\},$