le problème de la plus courte distance entre deux surfaces courbes données ; et cet embarras s’est reproduit de nouveau, dans le présent paragraphe, pour la moindre surface entre des surfaces données. En se laissant guider par l’analogie, on est conduit à penser que cet obstacle ne se serait rencontré dans aucun de ces deux endroits si, au lieu de considérer et comme fonctions de dans le premier cas, et comme fonctions de et dans le second, nous les eussions considérées toutes trois, comme fonctions d’une quatrième variable, dans le premier, et comme fonctions de deux nouvelles variables dans le second, ce qui, comme l’on sait, est toujours permis ; et c’est ce que la suite montrera clairement.
56. Voilà donc notre plan tout naturellement tracé. Quel que soit le nombre tant des variables indépendantes, que des fonctions de ces variables, et quel que soit en même temps l’ordre de l’intégrale à rendre maximum ou minimum, nous supposerons constamment toutes les variables, tant indépendantes que subordonnées, fonctions d’une ou de plusieurs variables nouvelles, en même nombre que les variables indépendantes primitives.
57. Nous allons appliquer successivement ces considérations aux divers cas que nous avons déjà traités ; mais comme d’ailleurs les raisonnemens théoriques demeurent exactement les mêmes qu’alors, nous nous dispenserons de les énoncer, ce qui rendra notre marche beaucoup plus rapide.
58. La variable étant fonction de la seule variable indépendante et étant une quantité composée d’une manière connue quelconque en en et en coefficiens différentiel de cette dernière variable, proposons-nous d’assigner la valeur de en qui rend l’intégrale maximum ou minimum, entre des limites données ?
59. Pour résoudre cette question, nous commencerons par passer
