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INTÉGRALES

hauteur indéfinie une portion d’un volume donné, quelle est celle dont l’aire, terminée à la surface latérale de ce prisme ou de ce cylindre est la moindre possible ?

Solution. Soit pris le plan de la base du prisme ou du cylindre pour celui des $xy$ que nous supposerons rectangulaires, mais d’ailleurs de direction quelconque, et soit l’axe des $z$ parallèle aux arêtes ou élémens rectilignes de ce même prisme ou de ce même cylindre. Soit $c^{3}$ le volume de la portion du cylindre interceptée du côté de sa base par la surface cherchée, nous devrons avoir, dans les limites déterminées par la surface latérale du prisme ou du cylindre

$\iint z\operatorname {d} x\operatorname {d} y=c^{3},$

de plus, entre les mêmes limites, $\iint \operatorname {d} x\operatorname {d} y{\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}$ devra, comme ci-dessus, être un minimum. En conséquence, tout se réduira à rendre tel, toujours entre les mêmes limites, l’intégrale

$\iint \left({\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}+Az\right)\operatorname {d} x\operatorname {d} y,$

sauf à déterminer ensuite convenablement la constante $A.$

Nous aurons donc, ici $V={\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}+Az,$ d’où

${\begin{alignedat}{3}K=&A,\qquad &L=&{\frac {l}{\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}},\qquad &N=&0,\ldots ,\\\\&&M=&{\frac {m}{\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}},&O=&0,\ldots ,\\\\&&&&P=&0,\ldots ,\\\\&&&&&\ldots ,\end{alignedat}}$

donc