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INDÉTERMINÉES.

cylindrique dont l’aire est donnée, quelle est celle qui, entre ces deux mêmes plans, à la moindre longueur ?

Solution. Soient toujours, comme dans le précédent problème, l’axe des $z$ perpendiculaire et le plan des $xy$ parallèle aux deux plans donnés, que nous supposerons encore avoir pour équations

$z=c_{0},\qquad z=c_{1}.$

Soit $k^{2}$ l’aire donnée de la portion de surface cylindrique formée par toutes les perpendiculaires entre les plans parallèles menées par les points de la courbe cherchée ; nous aurons, entre les limites $c_{0}$ et $c_{1}$

$\left(c_{1}-c_{0}\right)\int \operatorname {d} z{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}=k^{2}\,;$

de plus, nous devrons avoir, entre les mêmes limites,

$\int \operatorname {d} z{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}$

minimum ; d’où l’on voit (37) que tout se réduira à rendre minimum, entre les limites dont il s’agit, l’intégrale

$\int \left\{{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}+A\left(c_{1}-c_{0}\right){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\right\}\operatorname {d} z\,;$

sauf ensuite à déterminer convenablement la constante $A.$

En posant, pour abréger, $A(c_{1}-c_{0})=C,$ nous aurons donc ici

$V={\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}+C{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},$

d’où

${\begin{alignedat}{3}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)=&0,\quad &\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)=&{\frac {x'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}+{\frac {Cx'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}},\quad &\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)=&0,\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=&0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)=&{\frac {y'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}+{\frac {Cy'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=&0,\ldots \\\\\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'=&{\frac {x''\left(1+y'^{2}\right)-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {Cy'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},\quad &\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)'=&0,\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'=&{\frac {y''\left(1+x'^{2}\right)-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {Cx'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=&0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''=&0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=&0,\ldots \end{alignedat}}$