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INTÉGRALES
veut entre
et
Mais nous éprouverions ici une difficulté du même genre si nous nous proposions d’assigner le plus court chemin, soit entre des courbes à double courbure, soit entre des surfaces courbes ; puisqu’il est de l’essence de la question que mous traitons actuellement que les limites
et
demeurent invariables. On peut déjà soupçonner, au surplus, et nous verrons bientôt d’ailleurs ce qu’il y a à faire pour surmonter cette difficulté.
Pour donner un exemple du cas mentionné ci-dessus (27), reprenons l’équation
![{\displaystyle {\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}X+{\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}Y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e2c22ba763e97c6c9e28ad12d8a0b701f4bd23)
et supposons qu’au lieu de chercher quelle est absolument la plus courte ligne entre nos deux plans, on cherche seulement quelle est la plus courte entre toutes celles qui, se terminant à ces deux plans, sont situées sur une sphère ayant pour équation
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=M=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85dca708ecd872fae91db54dec72314a2e9133d2)
On aura ici
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\right)=2x,\qquad \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right)=2y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d637664af4b68aceec4b51976b24c77b380f3cb3)
de sorte que l’équation de condition (XVII) sera
![{\displaystyle xX+yY=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e24ac7b265724848fbec5497e55e7de885d453)
ajoutant le produit de cette équation par un multiplicateur indéterminé
à celle ci-dessus, il viendra
![{\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\lambda x\right\}X+\left\{{\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\lambda y\right\}Y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa450eecf12762b09a2c1b16fe27d9e07c838a3)
égalant alors séparément à zéro les multiplicateurs des fonctions
et
il en résultera les deux équations