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INTÉGRALES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

éliminant donc, entre ces six équations, les quatre constantes $M,N,G,H,$ on obtiendrait pour les équations de la droite cherchée

${\frac {x-a_{0}}{a_{1}-a_{0}}}={\frac {y-b_{0}}{b_{1}-b_{0}}}={\frac {z-c_{0}}{c_{1}-c_{0}}}\,;$

ce qui revient à dire que le plus court chemin entre deux points de l’espace est la ligne droite qui joint ces deux points.

Au lieu de points fixes, on pourrait donner pour limites des courbes planes tracées sur les deux plans parallèles. Conservons le point fixe $(a_{0},b_{0},c_{0})$ sur le premier plan, et donnons-nous pour limite, sur le second, la courbe plane suivant laquelle il est coupé par la surface cylindrique dont l’équation est

$\operatorname {f} (x,y)=L=0\,;$

nous devrons avoir (34) l’équation de condition

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}X_{1}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}Y_{1}=0.$

en ajoutant le produit de cette équation par un multiplicateur indéterminé $\lambda$ à l’équation aux limites, après avoir fait dans cette dernière $X_{0}=0,\ Y_{0}=0,$ ainsi qu’on le doit, puisqu’ici la première limite est fixe ; il viendra

$\left\{{\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}+N^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}\right\}X_{1}+\left\{{\frac {N}{\sqrt {1+M^{2}+N^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}\right\}Y_{1}=0.$

Égalant présentement à zéro les multiplicateurs de $X_{1}$ et $Y_{1},$ nous aurons les deux équations

${\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}+N^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0,\quad {\frac {N}{\sqrt {1+M^{2}+N^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0,$

entre lesquelles éliminant $\lambda ,$ il viendra finalement