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SOMMATION

Formons une équation du troisième degré dont les racines soient

ab+cd,\quad ac+bd,\quad ad+bc\,;

en désignant par $y$ l’inconnue de cette équation, elle sera

(y-ab-cd)(y-ac-bd)(y-ad-bc)=0,

ou bien

{\begin{array}{r|r|r}y^{3}-(ab+cd)&y^{2}+(ab+cd)(ac+bd)&y-(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)=0,(\mathrm {3} )\\-(ac+bd)&+(ac+bd)(ad+bc)&\\-(ad+bc)&+(ad+bc)(ab+cd)&\end{array}}

ou en développant et ayant égard aux relations (2)

y^{3}-py^{2}-4ry-(q^{2}-4pr)=0.\qquad

^[1] (4)

Lorsqu’on sait résoudre les équations du troisième degré, on peut regarder comme connue les trois racines de l’équation (4). Représentons-les par $A,B,C$ nous aurons

↑ En effet, d’abord le coefficient du second terme de l’équation (3) est immédiatement égal à $-p\,;$ le développement de celui du troisième retient à
$(a+b+c+d)abc+acd+bcd)-4abcd,$

qui se réduit à $-4r\,;$ enfin le dernier terme peut être écrit ainsi :

$-abcd(a+b+c+d)^{2}-(abc+abd+acd+bcd)^{2}+4abcd(ab+ac+ad+bc+bd+cd),$

qui revient à $-q^{2}+4pr.$

On pourrait, au surplus, parvenir encore à l’équation (4), quoique par un calcul moins symétrique, en éliminant $a,b,c,d$ entre les équations (2) et la suivante :

$y=ab+cd.$

[1] En effet, d’abord le coefficient du second terme de l’équation (3) est immédiatement égal à $-p\,;$ le développement de celui du troisième retient à
$(a+b+c+d)abc+acd+bcd)-4abcd,$

qui se réduit à $-4r\,;$ enfin le dernier terme peut être écrit ainsi :

$-abcd(a+b+c+d)^{2}-(abc+abd+acd+bcd)^{2}+4abcd(ab+ac+ad+bc+bd+cd),$

qui revient à $-q^{2}+4pr.$

On pourrait, au surplus, parvenir encore à l’équation (4), quoique par un calcul moins symétrique, en éliminant $a,b,c,d$ entre les équations (2) et la suivante :

$y=ab+cd.$

[1]