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DES SUITES.

${\frac {\left\{e^{a\left(\operatorname {Cos} .t+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)}-1\right\}-\left\{e^{a\left(\operatorname {Cos} .t-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .t\right)}-1\right\}}{2{\sqrt {-1}}}}$

ou bien

$e^{a\operatorname {Cos} .t}.{\frac {e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}-e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .t}}{2{\sqrt {-1}}}}=e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .t)$

de sorte qu’on aura

$e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .t)={\tfrac {a\operatorname {Sin} .t}{1}}+{\tfrac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t}{1.2}}+{\tfrac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t}{1.2.3}}+{\tfrac {a^{4}\operatorname {Sin} .4t}{1.2.3.4}}+\ldots$^[1]

13. D’après cela, on aura ici

$\operatorname {F} [t]=2\left\{e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .t)-1\right\},\qquad \operatorname {F} '[t]=2e^{a\operatorname {Cos} .t}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .t)\,;$

substituant donc ces valeurs dans les formules ci-dessus (9, 10), nous aurons, par le Théorème I, quel que soit $n,$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots }{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots }{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots }{1.2.3}}+\ldots$

$={\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .s}.\operatorname {Cos} .[a\operatorname {Sin} .s]+\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t)\right]\right.$

$\left.+\Sigma e^{a\operatorname {Cos} .(s-2t-2u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(s-2t-2u)\right]+\ldots \right\}\,;$

par le Théorème II, pour $n$ pair,

1. Nous ne connaissions pas encore le Cours d’analise de M. Cauchy, où la première de ces deux séries se trouve sommée, lorsque nous en avons donné la somme, à la page 107 du présent volume.