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INDÉTERMINÉES.
fait arbitraires. Représentons, en effet, une de ces équations par
![{\displaystyle \operatorname {f} (x,x',x'',\ldots ,y,y',y'',\ldots )=L=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0830e88658e053a5a8690b0eaf13f17e1992287)
(XX)
on devra avoir, pour les diverses courbes que l’on considère, concurremment avec la courbe cherchée
![{\displaystyle \operatorname {f} (x+iX,x'+iX',x''+iX'',\ldots ,y+iY,y'+iY',y''+iY'',\ldots )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11432f2bee4b3081c6df527ad68bfafa826dae8)
ou, en développant,
![{\displaystyle L+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)X'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)X''+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dca066f058ef5d3415f9e43b41b51f40848b3f6)
![{\displaystyle +\left.\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots \right\}{\frac {i}{1}}+\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b02e5bdff43180bef75a490759e0928e1f51bd1)
d’où, retranchant l’équation (XX) et exprimant que l’équation résultante a lieu quelque petite que soit ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle 0=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)X'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)X''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d45c506c28aaa095681113a8a829002110cc06)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074a06faf3f570aa9414ff005708b423abee9593)
(XXI)
Il faudra d’abord substituer dans (XX, XXI) pour
et
leurs valeurs en
et en constantes déduites des équations (XV) ; puis, en supposant, par exemple, qu’il soit question de la première limite, mettre pour
sa valeur
ce qui changera ces équation en celles-ci :
![{\displaystyle L_{0}=0,\ (\mathrm {XXII} )\ 0=\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{0}X_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}X_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}X_{0}''+\ldots \\\\&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y_{0}''+\ldots \end{aligned}}\right\}(\mathrm {XXIII} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae9e8f0531f127e52833bf436bda8869211e2c4)