cessairement la même tangente en ce point. Car, si la tangente à l’ellipse n’était pas en même temps tangente au cercle, le centre de celui-ci serait hors de la normale, du point de contact ; de sorte qu’en menant de ce centre une autre normale, elle serait plus courte que le rayon, d’où il suit que l’ellipse aurait un point intérieur au cercle qui, conséquemment, devrait la couper en deux points au moins.
Observons encore que si un cercle et une ellipsoïde engendrée par la résolution d’une ellipse autour de son grand axe n’ont qu’un seul point commun, la tangente au cercle en ce point sera située dans le plan tangent à l’ellipsoïde au même point. En effet, le plan du cercle détermine dans l’ellipsoïde une section elliptique qui n’a qu’un point commun avec ce cercle et qui a pour tangente en ce point l’intersection de ce plan avec le plan tangent à l’ellipsoïde, intersection qui doit être tangente au cercle par ce qui précède.
Cela posé, soient (fig. 6) les trois points dont il s’agit, et le point du plan donné dont la somme des distances à ces trois-là est un minimum. Conduisons par et par la perpendiculaire le plan perpendiculaire à ce plan ; et du pied de la perpendiculaire comme centre et avec pour rayon, décrivons un cercle dans le même plan. Il est clair que ce cercle aura pour tangente en la perpendiculaire au plan Maintenant si l’on décrit, dans le plan une ellipse ayant ses foyers aux points et et dont le grand axe soit et qu’on fasse tourner cette ellipse autour de elle engendrera une ellipsoïde dont la surface ne devra rencontrer notre cercle qu’au seul point car si elle le coupait en un autre point on aurait d’où, à cause de on conclurait ce qui serait contre l’hypothèse. Donc, d’après la dernière des deux observations faites ci-dessus, la tangente au cercle au point est dans le plan tangent en ce point à la surface de l’ellipsoïde ; et, comme cette tangente est perpendiculaire au plan il en résulte que le plan tangente à
