donc, pour le point d’intersection des deux courbes, et sont les deux racines de l’équation du second degré
d’où, il suit qu’on doit avoir
ce qui prouve la proposition annoncée.
On peut encore remarquer que la distance du foyer commun au point où la tangente à la première parabole rencontre son axe est, en général,
et que la distance du même point à celui où la normale à la seconde rencontre le même axe est
mais les équations des deux courbes donnent pour l’abscisse de leur point d’intersection
substituant donc dans les deux expressions ci-dessus, elles deviennent également
ce qui montre que, pour le point d’intersection des deux courbes, la tangente à la première coïncide avec la normale à la seconde, et qu’ainsi elles se coupent perpendiculairement.
En substituant dans l’équation de l’une quelconque des deux courbes la valeur de l’abscisse de leur point d’intersection, on obtient pour son ordonnée