à un même cercle, ont un côté commun, les droites qui, dans ces quadrilatères, joindront l’intersection des diagonales et le point de concours des côtés adjacens au côté commun iront toutes concourir en un même point de la perpendiculaire sur le milieu de ce côté commun.
C’est précisément là le théorème de M. Hachette, énoncé dans le Bulletin des sciences (août 1822, pag. 114), et démontré par M. Valsh, de Cork en Irlande. Quelque confiance que doivent inspirer d’ailleurs les savans rédacteurs de ce recueil, nous ne saunons nous refuser à regarder la démonstration de M. Valsh comme tout au moins incomplète. Elle suppose, en effet, ce qu’il aurait d’abord fallu prouver, savoir, que les trois points sont en ligne droite. Elle établit ensuite que le point est constant, et cela en vertu d’un certain rapport dont cependant tous les élémens sont variables. Ce rapport d’ailleurs, fût-il aussi constant qu’on le suppose, ne paraîtrait pas entraîner inévitablement l’immobilité de ce point Ce qui précède pourra donc devenir, au défaut de toute autre démonstration, une rectification de celle de M. Valsh.
Remarque II. Au lieu de se donner l’angle sécant il revient au même de se donner arbitrairement le quadrilatère inscrit alors la figure sera un quadrilatère circonscrit ayant ses points de contact aux sommets de l’inscrit. Si l’on considère en outre que l’on peut toujours concevoir un cercle qui soit la perspective d’une section conique donnée ; qu’alors si deux quadrilatères sont l’un inscrit et l’autre circonscrit à la section conique, de telle sorte que les sommets de l’inscrit soient les points de contact du circonscrit, il en sera de même de leurs perspectives par rapport au cercle ; qu’enfin les perspectives des points en lignes droites et des droites qui concourent en un même point sont elles-mêmes des points en lignes droites et des droites qui concourent en un même point, et qu’en outre la perspective du pôle d’une droite est le pôle de la perspective de cette droite, notre lemme donnera le théorème suivant :
