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RÉSOLUES.
![{\displaystyle -2k\operatorname {d} t=\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cb51e8c8f39567be4ef9fa3b12155c2c696285)
trouvée ci-dessus, se réduit à
![{\displaystyle -2k\operatorname {d} t={\frac {x\operatorname {d} x}{a}}+{\frac {a\operatorname {d} x}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3574ab65153633645e3b2f3c5220714a96e06e)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle F-2kt={\frac {a}{2}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef72b2334cb59c65bbc65b5c323cd14811015cc)
en observant encore ici que
et
doivent se correspondre, on aura
![{\displaystyle F={\frac {a}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f727135bcec3185c64c56c3ebe311ee0135dc19c)
d’où en retranchant
![{\displaystyle {\frac {4kt}{a}}=\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}+\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec2ec2b77ff7f9047787148c7a2b82e7e0847bb)
En écrivant l’équation (25) comme il suit
![{\displaystyle y+{\frac {(k-h)a}{4k}}={\frac {(k-h)a}{4k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {(k+h)a}{4k}}\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7d0874455b9b78f609e33957a5a60cb161b4ed)
on voit que si, ayant transporté l’origine sur l’axe des
à une distance
au dessous de sa position primitive, on fait
![{\displaystyle y'={\frac {(k-h)a}{4k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2},\qquad y''={\frac {(k+h)a}{4k}}\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab398e440863e1d91154442539d6dd0ea5ec239)
(27)
on aura
![{\displaystyle y=y'+y''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221101233c4ca28e07f0792162bf698218038322)