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QUESTIONS

absolue plus grande que l’unité, c’est la première des deux courbes qui est hyperbolique, tandis que la seconde est parabolique.

Mais il est un cas particulier qui rend illusoire une partie des formules auxquelles nous venons de parvenir, à raison du dénominateur $n-1$ qui affecte leurs termes : c’est celui où le maître, marchant dans le sens du courant, a sur ce courant un excès de vitesse précisément égal à la vitesse que son chien pourrait se donner en nageant dans une eau tranquille. On a alors, en effet, $g-h=k,$ d’où $n=1,$ ce qui rend infinis les termes affectés du dénominateur $n-1.$ Cherchons donc, en particulier, les formules qui conviennent à ce cas ; ou plutôt des formules qui remplacent les formules (19, 20), les seules qui présentent cette circonstance.

Dans le cas dont il s’agit, l’équation (13) devient simplement

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {k-h}{2k}}{\frac {x}{a}}-{\frac {k+h}{2k}}{\frac {a}{x}},$

ce qui donne, en intégrant

$y+E={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {k-h}{2k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {k+h}{2k}}\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\right\}\,;$

mais, parce que $x=a$ doit repondre à $y=0,$ on aura

$E={\frac {a}{2}}.{\frac {k-h}{2k}}\,;$

d’où, en retranchant,

${\frac {2y}{a}}={\frac {k-h}{2k}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1\right\}+{\frac {k+h}{2k}}\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}.\qquad$(25)

Dans le même cas, l’équation