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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}-g={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\operatorname {Tang} .z+x.{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .z}{\operatorname {d} t}}.\qquad$(5)

mettant dans la dernière pour ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}$ les valeurs données par les équations (4), réduisant et posant, pour abréger, $g-h=nk,$ on aura

$-nk=x.{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .z}{\operatorname {d} t}}=x{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .z}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},\qquad$(6)

mettant encore dans celle-ci, pour ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}$ sa valeur donnée par la première des équations (4), elle deviendra

$n{\frac {\operatorname {d} x}{x}}=\operatorname {Cos} .z.\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .z={\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .z}{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}z}}},\qquad$(7)

équation séparée, dont l’intégrale est

$n\operatorname {Log} .\left({\frac {x}{A}}\right)=\operatorname {Log} .\left(\operatorname {Tang} .z+{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}z}}\right),$

ou bien

$\left({\frac {x}{A}}\right)^{n}=\operatorname {Tang} .z+{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}z}}\,;\qquad$(8)

$A$ étant une constante arbitraire.

Pour déterminer cette constante, statuons à la fois sur la situation de l’axe des $x,$ que jusqu’ici nous avons laissée indéterminée ainsi que sur l’origine des temps que nous avons également laissée arbitraire ; et pour le faire de la manière la plus propre à simplifier nos résultats, remarquons que, bien que, par l’énoncé du problème, la largeur du canal soit déterminée, cette largeur néanmoins n’entra aucunement dans nos formules ; de sorte qu’il nous est permis de la supposer indéfinie du côté d’où part le chien, et d’admettre