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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/282
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et est conforme au fac-similé.
274
THÉORÈME
Les
corrections
sont expliquées en
page de discussion
mais, en vertu de nos définitions (2 et 4), on a
a
f
n
−
1
(
a
+
k
)
=
f
n
(
a
)
,
b
f
0
(
b
+
k
)
=
f
1
(
b
)
,
a
f
n
−
2
(
a
+
k
)
=
f
n
−
1
(
a
)
,
b
f
1
(
b
+
k
)
=
f
2
(
b
)
,
a
f
n
−
3
(
a
+
k
)
=
f
n
−
2
(
a
)
,
b
f
2
(
b
+
k
)
=
f
3
(
b
)
,
…
…
…
…
…
…
…
a
f
2
(
a
+
k
)
=
f
3
(
a
)
,
b
f
n
−
3
(
b
+
k
)
=
f
n
−
2
(
b
)
,
a
f
1
(
a
+
k
)
=
f
2
(
a
)
,
b
f
n
−
2
(
b
+
k
)
=
f
n
−
1
(
b
)
,
a
f
0
(
a
+
k
)
=
f
1
(
a
)
,
b
f
n
−
1
(
b
+
k
)
=
f
n
(
b
)
;
{\displaystyle {\begin{array}{rlrl}a\operatorname {f} _{n-1}(a+k)&=\operatorname {f} _{n}(a),&&b\operatorname {f} _{0}(b+k)&=\operatorname {f} _{1}(b),\\a\operatorname {f} _{n-2}(a+k)&=\operatorname {f} _{n-1}(a),&&b\operatorname {f} _{1}(b+k)&=\operatorname {f} _{2}(b),\\a\operatorname {f} _{n-3}(a+k)&=\operatorname {f} _{n-2}(a),&&b\operatorname {f} _{2}(b+k)&=\operatorname {f} _{3}(b),\\\ldots &\ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots &\ldots \\a\operatorname {f} _{2}(a+k)&=\operatorname {f} _{3}(a),&&b\operatorname {f} _{n-3}(b+k)&=\operatorname {f} _{n-2}(b),\\a\operatorname {f} _{1}(a+k)&=\operatorname {f} _{2}(a),&&b\operatorname {f} _{n-2}(b+k)&=\operatorname {f} _{n-1}(b),\\a\operatorname {f} _{0}(a+k)&=\operatorname {f} _{1}(a),&&b\operatorname {f} _{n-1}(b+k)&=\operatorname {f} _{n}(b)\,;\end{array}}}
substituant donc, il viendra
a
{
f
n
(
a
)
.
f
0
(
b
)
+
n
−
1
1
.
f
n
−
1
(
a
)
.
f
1
(
b
)
+
n
−
1
1
.
n
−
2
2
.
f
n
−
2
(
a
)
.
f
2
(
b
)
+
…
…
…
…
+
n
−
1
1
.
n
−
2
2
f
3
(
a
)
.
f
n
−
3
(
b
)
+
n
−
1
1
.
f
2
(
a
)
.
f
n
−
2
(
b
)
+
f
1
(
a
)
.
f
n
−
1
(
b
)
}
+
{
f
n
−
1
(
a
)
.
f
1
(
b
)
+
n
−
1
1
.
f
n
−
2
(
a
)
.
f
2
(
b
)
+
n
−
1
1
.
n
−
2
2
.
f
n
−
3
(
a
)
.
f
3
(
b
)
+
…
…
…
…
+
n
−
1
1
.
n
−
2
2
f
2
(
a
)
.
f
n
−
2
(
b
)
+
n
−
1
1
.
f
1
(
a
)
.
f
n
−
1
(
b
)
+
f
0
(
a
)
.
f
n
(
b
)
}
{\displaystyle a\left\{{\begin{array}{lr}&\operatorname {f} _{n}(a).\operatorname {f} _{0}(b)\\+&{\frac {n-1}{1}}.\operatorname {f} _{n-1}(a).\operatorname {f} _{1}(b)\\\\+&{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.\operatorname {f} _{n-2}(a).\operatorname {f} _{2}(b)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}\operatorname {f} _{3}(a).\operatorname {f} _{n-3}(b)\\\\+&{\frac {n-1}{1}}.\operatorname {f} _{2}(a).\operatorname {f} _{n-2}(b)\\\\+&\operatorname {f} _{1}(a).\operatorname {f} _{n-1}(b)\end{array}}\right\}+\left\{{\begin{array}{lr}&\operatorname {f} _{n-1}(a).\operatorname {f} _{1}(b)\\+&{\frac {n-1}{1}}.\operatorname {f} _{n-2}(a).\operatorname {f} _{2}(b)\\\\+&{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.\operatorname {f} _{n-3}(a).\operatorname {f} _{3}(b)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}\operatorname {f} _{2}(a).\operatorname {f} _{n-2}(b)\\\\+&{\frac {n-1}{1}}.\operatorname {f} _{1}(a).\operatorname {f} _{n-1}(b)\\\\+&\operatorname {f} _{0}(a).\operatorname {f} _{n}(b)\end{array}}\right\}}
observant alors que
1
+
n
−
1
1
=
n
1
{\displaystyle 1+{\frac {n-1}{1}}={\frac {n}{1}}}
n
−
1
1
+
n
−
1
1
.
n
−
2
2
=
n
−
1
2
,
{\displaystyle {\frac {n-1}{1}}+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}={\frac {n-1}{2}},}