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DIFFÉRENCES

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y'}{x'}}\,;$

mais c’est une valeur introduite par l’élévation au quarré, puisqu’elle ne satisfait pas à l’équation sous sa première forme.

En faisant le développement, l’équation peut être mise sous cette forme

$\left\{{\frac {\Delta y}{\Delta x}}-{\frac {y'}{x'}}\right\}\left\{\left(p'^{2}-2p'{\frac {y'}{x'}}-1\right){\frac {\Delta y}{\Delta x}}+\left(p'^{2}{\frac {y'}{x'}}+2p'-{\frac {y'}{x'}}\right)\right\}=0,$

et donne conséquemment, pour la véritable valeur de ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {p'^{2}y'+2p'x'-y'}{x'+2p'y'-p'^{2}x'}}.\qquad$(1)

La considération d’une seconde ellipse qui, ayant pour foyers les points $\mathrm {O}$ et $\mathrm {P} ',$ passerait par le point $\mathrm {P} ,$ donnera pareillement, en désignant par $\mathrm {P}$ le coefficient différentiel au point $\mathrm {O,}$

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {p^{2}y+2px-y}{x+2py-p^{2}x}}.\qquad$(2)

Les équations aux différences mêlées (1, 2) ne paraissent facilement intégrales que dans le cas où le point $\mathrm {O}$ est infiniment éloigné ; c’est-à-dire, dans le cas où les rayons $\mathrm {PO}$ et $\mathrm {P'O}$ sont parallèles. Alors $x,$ et $x'$ sont respectivement infinis par rapport à $y$ et $y',$ ce qui réduit les équations (1, 2) aux suivantes

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2p}{1-p^{2}}},\quad (3)\qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2p'}{1-p'^{2}}},\quad (4)$

ce qui donne

${\frac {2p}{1-p^{2}}}={\frac {2p'}{1-p'^{2}}}\,;$

d’où résultent ces deux valeurs