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DIFFÉRENCES

GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.

Solution d’un problème de géométrie, dépendant des
équations aux différences mêlées ;

Par M. Vernier, professeur de mathématiques au collége
royal de Caen, ancien élève de l’école normale.

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PROBLÈME. Trouver la courbe plane sur laquelle un point lumineux, parvenant d’un point donné de son plan, dans quelque direction que ce soit, après avoir subi deux réflexions, retourne au point même de départ ?^[1]

Solution. Soient $\mathrm {O}$ le point donné, $\mathrm {P,P'}$ les points de la courbe où les deux réflexions consécutives doivent avoir lieu ; il faudra donc que, quelle que puisse être la direction primitive $\mathrm {OM,}$ en menant les normales $\mathrm {PN,P'N',}$ on ait $\mathrm {\operatorname {Ang} .OPN=\operatorname {Ang} .NOP'}$ et $\mathrm {\operatorname {Ang} .PP'N'=\operatorname {Ang} .N'P'O} .$

Soit pris le point $\mathrm {O}$ pour origine des coordonnées rectangulaires. Soient $x,y$ les coordonnées du point $P$ et soient $x',y'$ celles du point $P'\,;$ et soient enfin désignées par $\Delta x,\Delta y,$ respectivement, les différences $x'-x,\ y'-y.$

1. Ce problème, proposé dans les Acta eruditorum (septembre 1745), a été traité pour la première fois par Euler (même recueil, 1746). M. Biot s’en est aussi occupé (Mémoires présentés à l’Institut, tom. I). Voyez le Traité des différences et des séries de M. Lacroix, pag. 588.
   J. D. G.