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DES COSINUS.

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .m(x\pm \pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \pi )\\\\+&{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm \pi )+\ldots =P_{\frac {1}{2}},\\\\&\operatorname {Sin} .m(x\pm \pi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm \pi )\\\\+&{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm \pi )+\ldots =Q_{\frac {1}{2}},\end{aligned}}$

de manière que

${\begin{aligned}P_{\frac {1}{2}}&=P_{0}\operatorname {Cos} .m\pi \pm Q_{0}\operatorname {Sin} .m\pi ,\\Q_{\frac {1}{2}}&=P_{0}\operatorname {Sin} .m\pi \pm Q_{0}\operatorname {Cos} .m\pi \,;\end{aligned}}$

supposons de plus

$m={\frac {1}{k}},$

nous aurons les résultats suivants.

La quantité $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ a toujours $k$ valeurs différentes, qui s’expriment généralement par

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}.$

Mais

I. Dans le cas de $\operatorname {Cos} .x,$ positif,

il existe toujours, parmi ces $k$ valeurs, pour toutes les valeurs possibles de $x,$ une valeur entièrement réelle de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ si $k$ est impair, et deux valeurs ne différant que par le signe, si $k$ est pair. Les valeurs entièrement réelles, en donnant pour indice à $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ les valeurs correspondantes de $n,$ sont exprimées par

$(2\operatorname {Cos} .x)_{\left(0{\text{ et }}{\frac {1}{2}}k\right)}^{\frac {1}{k}}=\pm P_{0}.$

Outre ces valeurs, il en existe deux autres, purement imaginaires, qui s’expriment par