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DES COSINUS.
trouvent en substituant la valeur
de
qui correspond à ce cas, dans tous les termes de
qui devient ainsi
et qui constitue à elle seule la quantité cherchée. Cela donne
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left[x\pm (k-1)\right](x\pm 2n\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5457665f2fb515dc90cfd3aedcf55a76a5631946)
![{\displaystyle =-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}.(x\pm \varpi )=-\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b12d4f1b3789ca22a1f251e726c981ed3a840f6)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)[x\pm (k-1)\varpi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6f6e1312d3627049a19bc38b0b2dced8d91bb4)
![{\displaystyle =-\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm \varpi )=-\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a185d31b09e21a81ef2a7500ab1c0a1669cd68)
et par suite
![{\displaystyle P_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=-\left\{\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \pi )+\ldots \right\}=-P_{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d9025d61b4af280fa61dabac321896a6770c3e)
donc
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=-P_{\frac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd27e1b0cc190e775edeab262dd16529cd515bb)
ce qui donne l’unique valeur entièrement réelle de
pour le cas où
est impair et
négatif.
Quant à la quantité
qui doit s’évanouir dans ce cas, on trouvera, par un calcul semblable à celui qui a été employé pour