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DES COSINUS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

si donc on introduit dans cette expression générale les valeurs particulières de $n$ qui répondent aux divers cas de $P_{n}=0$ et $Q_{n}=0,$ trouvées ci-dessus (15), pour déterminer les valeurs de $(2\operatorname {\operatorname {Cos} } .x){\frac {1}{k}}$ toutes réelles ou tout imaginaires qui répondent à ces mêmes cas, on parviendra aux résultats que voici :

I. Pour $\operatorname {\operatorname {Cos} } .x$ positif.

1.^o Si l’on veut avoir, dans ce cas, les valeurs purement imaginaires de $(2\operatorname {\operatorname {Cos} } .x)^{\frac {1}{k}},$ il faut supposer $P_{n}=0.$ Mais (15) la valeur ${\frac {k}{4}}$ de $n$ répond à $P_{n}=0,$ donc il faut mettre $n={\frac {k}{4}}$ ou $2n={\frac {k}{2}},$ dans tous les termes dont la quantité $Q_{n}$ est composée, en supprimant d’ailleurs $P_{n}$ ; on trouve ainsi

$\operatorname {\operatorname {Sin} } .{\frac {1}{k}}\left(x\pm 2n\varpi \right)=\operatorname {\operatorname {Sin} } .{\frac {1}{k}}\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)$

$=\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {x}{k}}\pm {\frac {1}{2}}\varpi \right)=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .{\frac {x}{k}}=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .mx,$

$=\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left({\frac {1}{k}}-2\right)\left(x\pm {\frac {1}{2}}k\varpi \right)$

$=\operatorname {\operatorname {Sin} } .\left[\left({\frac {1}{k}}-2\right)x\pm \left({\frac {1}{2}}-k\right)\varpi \right]=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .\left({\frac {1}{k}}-2\right)x=\pm \operatorname {\operatorname {Cos} } .(m-2)x\,;$

 

En conséquence, la valeur de $Q_{n},$ qui est alors $Q_{{\frac {1}{4}}k},$ deviendra

$Q_{{\frac {1}{4}}k}=\pm \left\{\operatorname {\operatorname {Cos} } .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {\operatorname {Cos} } .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {\operatorname {Cos} } .(m-4)x+\ldots \right\}=\pm P_{0}$

de sorte qu’on aura, pour ce cas,