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DES COSINUS.

circonférences ; donc toutes les doubles quantités trouvées ci-dessus, pour $P_{n}=0,\ Q_{n}=0,$ se réduisent toujours à une seule, et par conséquent on aura

I. Pour $\operatorname {Cos} .x$ positif.

$P_{n}=0,$ en ajoutant seulement à $x,\ \pm {\frac {1}{2}}k\varpi ,$ qui répond à $n={\frac {k}{4}},$

de sorte que $P_{{\frac {1}{4}}k}=0.$

$Q_{n}=0,$ en n’ajoutant rien à $x,$ ce qui correspond à $n=0$

de sorte que $Q_{0}=0.$

II. Pour $\operatorname {Cos} .x$ négatif.

$P_{n}=0,$ en ajoutant seulement à $x,\ \pm \left({\frac {1}{2}}k-1\right)\varpi ,$ qui répond à $n={\frac {k-2}{4}},$

de sorte que $P_{{\frac {1}{4}}(k-2)}=0.$

$Q_{n}=0,$ en ajoutant seulement à $x,\ \pm (k-1)\varpi ,$ qui répond à $n={\frac {k-1}{2}},$

de sorte que $Q_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=0.$

16.

Il suit de là que

I. Pour $\operatorname {Cos} .x$ positif.

1.^o La quantité $P_{n}$ ne peut s’évanouir ou, ce qui revient au même, $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ ne saurait avoir des valeurs purement imaginaires, à moins que $k$ ne soit multiple de $4,$ puisqu’on a trouvé la condition $n={\frac {k}{4}},$ et que $n$ doit toujours être un nombre entier.