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DES COSINUS.
![{\displaystyle P_{n}=2^{m}.\operatorname {Cos} .2m(n+1)\pi ,\qquad Q_{n}=\pm 2^{m}.\operatorname {Sin} .m(2n+1)\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fd77ae1547baabfe6b32748518c3bfbe58bba9)
donc
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.\left\{\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8f8feaaa0472cd1869ee2c78e952d1e4aed4cc)
ou
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.\left\{\operatorname {Cos} .(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9162f183e172482c5e902d038fcddefb9dea565)
9.
Ces expressions se vérifient sur-le-champ ; car la formule générale connue
![{\displaystyle (\operatorname {Cos} .x\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51885f4045b599b9edf07b9eea9f63295bf608a6)
donne, si on y fait ![{\displaystyle x=2n\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4d55ef20c2b7a3333ec2ef3513344534866c05)
![{\displaystyle (+1)^{m}=\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ab4c04455f7df233221274a3261a2264f0f77b)
et si l’on y fait ![{\displaystyle x=(1\pm 2n)^{\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3ec24bbc5387ff884a61424c0e3dd0c74f808a)
![{\displaystyle (-1)^{m}=\operatorname {Cos} .m(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d04979499d16d4191173e988e35e0d2d2df6fbb)
Substituant donc ces valeurs de
et de
dans l’expression de
trouvée en dernier lieu, on aura
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.(\pm 1)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8076d2471f510a759931f1192b4934e130a6a993)
comme cela doit être.
Voila donc une preuve certaine de l’exactitude de l’expression générale de
à laquelle nous sommes parvenus en dernier lieu.
Pour distinguer la nouvelle expression ci-dessus de l’expression générale
désignons-la par