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PUISSANCES

6.

Soit $m$ égal à la fraction ${\frac {1}{k}},$ où $k$ peut être un nombre entier quelconque. Pour plus de simplicité, nous supposerons ce nombre positif. L’application à d’autres cas n’aura aucune difficulté.

On sait, par la théorie des équations, que, dans le cas de $m$ fractionnaire et égal à ${\frac {1}{k}},$ la quantité $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ a toujours $k$ valeurs différentes, savoir, les valeurs des $k$ racines de la quantité $2\operatorname {Cos} .x.$ Si $2\operatorname {Cos} .x$ est positif et $k$ impair, une de ces racines est entièrement réelle, ou de la forme $p\,;$ d’autres peuvent être entièrement imaginaires, ou de la forme ${\sqrt {-1}}q\,;$ le reste des racines est de la forme $p\pm {\sqrt {-1}}q.$ Si $2.\operatorname {Cos} .x$ est positif et $k$ pair, deux de ces racines sont de la forme $p\,;$ le reste est de la forme $p\pm {\sqrt {-1}}q.$ Si $2\operatorname {Cos} .x$ est négatif et $k$ impair, une seule racine est réelle, ou de la forme $p\,;$ les autres sont de la forme $p\pm {\sqrt {-1}}q.$ Si enfin $2\operatorname {Cos} .x$ est négatif et $k$ pair, aucune racine n’est réelle ; mais deux racines sont entièrement imaginaires, ou de la forme ${\sqrt {-1}}q,$ et le reste est de la forme $p\pm {\sqrt {-1}}q.$

La forme générale des racines de $2\operatorname {Cos} .x$ est donc

$p\pm {\sqrt {-1}}q,$

et c’est précisément la forme de l’expression générale $P\pm {\sqrt {-1}}Q,$ trouvée ci-dessus pour $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}.$ Mais, dans les cas particuliers, il faut que tantôt $p$ ou $P$ et tantôt $q$ ou $Q$ s’évanouissent, pour donner, suivant ces différens cas, des racines entièrement réelles, ou des racines entièrement imaginaires.

Il s’agit donc de trouver les valeurs de $n,$ dans $x+2n\varpi ,$ pour lesquelles $P$ ou $Q$ devient égal à zéro.