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INTÉGRALES
en conséquence, l’équation différentielle de la courbe cherchée sera
![{\displaystyle A-{\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f2afd558c7910ba5940e7bccbcd2e377f5e947)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}={\frac {1}{A}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235b2e67a301c8f40b0ac8894e7b07984f76423f)
son rayon de courbure doit donc être constant ; cette courbe est donc un arc de cercle.
En conséquence, nous pourrons prendre pour intégrale de l’équation ci-dessus
![{\displaystyle (x-G)^{2}+(y-H)^{2}=R^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e44d5a935f1608278e81038c30139f04cc31459)
où, des trois constantes
deux sont censées introduites par l’intégration, tandis que la troisième remplace la constante
et doit être déterminée par la condition
On tire d’ailleurs de cette équation
![{\displaystyle y=H\pm {\sqrt {R^{2}-(x-G)^{2}}},\quad y'=\mp {\frac {x-G}{\sqrt {R^{2}-(x-G)^{2}}}},\quad y''=\mp {\frac {R^{2}}{\left[R^{2}-(x-G)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7718ef3f59b4bc6bc466a7f265276e7408127d25)
Quant à l’équation aux limites, on trouvera qu’elle est, dans le cas actuel
![{\displaystyle {\frac {a_{1}-G}{R}}Y_{1}-{\frac {a_{0}-G}{R}}Y_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e9b3bd582f39a16d7243627aece61fcfa8c1f5)
Si donc aucune condition particulière n’a été imposée pour les limites,
et
devant demeurer absolument indépendans, cette équation ne pourra être satisfaite qu’autant qu’on aura, à la fois,
![{\displaystyle {\frac {a_{0}-G}{R}}=0,\qquad {\frac {a_{1}-G}{R}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8430a720b0d029b01005a272e824c351bce55e)
équations qui ne pourront subsister ensemble qu’autant qu’on aura
infini ; ce qui réduit la ligne cherchée à une ligne droite, comme