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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/171
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165
RACINES DES NOMBRES.
A
m
−
2
′
+
b
A
m
−
3
′
=
A
m
−
2
″
,
{\displaystyle {\begin{array}{lll}A'_{m-2}+bA'_{m-3}&=A''_{m-2}&,\end{array}}}
on aura
A
m
−
2
″
=
m
1
.
m
−
1
2
(
a
+
b
)
m
−
2
;
{\displaystyle A''_{m-2}={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}(a+b)^{m-2}\,;}
qu’en posant encore
A
1
″
+
b
=
A
1
‴
,
A
2
″
+
b
A
1
‴
=
A
2
‴
,
A
3
″
+
b
A
2
‴
=
A
3
‴
,
…
…
…
A
m
−
3
″
+
b
A
m
−
4
‴
=
A
m
−
3
‴
,
{\displaystyle {\begin{array}{lll}A''_{1}+b&=A'''_{1}&,\\A''_{2}+bA'''_{1}&=A'''_{2}&,\\A''_{3}+bA'''_{2}&=A'''_{3}&,\\\ldots \ldots &\ldots &\\A''_{m-3}+bA'''_{m-4}&=A'''_{m-3}&,\end{array}}}
on aura
A
m
−
3
‴
=
m
1
.
m
−
1
2
.
m
−
2
3
(
a
+
b
)
m
−
3
,
{\displaystyle A'''_{m-3}={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}(a+b)^{m-3},}
et ainsi de suite. On a donc ainsi
A
m
=
(
a
+
b
)
m
,
A
m
−
1
′
=
m
1
(
a
+
b
)
m
−
1
,
A
m
−
2
″
=
m
1
.
m
−
1
2
(
a
+
b
)
m
−
2
,
…
…
…
A
1
(
m
−
1
)
=
m
1
(
a
+
b
)
,
A
0
(
m
)
=
1
;
{\displaystyle {\begin{array}{ll}A_{m}&=(a+b)^{m},\\A'_{m-1}&={\frac {m}{1}}(a+b)^{m-1},\\\\A''_{m-2}&={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}(a+b)^{m-2},\\\\\ldots &\ldots \ldots \\A_{1}^{(m-1)}&={\frac {m}{1}}(a+b),\\\\A_{0}^{(m)}&=1\,;\end{array}}}
d’où