pour l’une que pour l’autre limites ; et on se servira de (X) et de ses analogues pour éliminer de (V) le plus grand nombre possible des fonctions après-quoi on égalera séparément à zéro les coefficiens de celles qui n’auront pas disparu. À la vérité, le nombre des équations qui devaient servir à déterminer les constantes se trouvera ainsi réduit ; mais toutes les équations qu’on aura de moins se trouveront exactement remplacées par l’équation (IX) et ses analogues ; de sorte que ces constantes se trouveront toujours déterminées, et le seront seulement par d’autres conditions.
12. Au surplus, au lieu d’éliminer de l’équation (V) le plus grand nombre possible des fonctions au moyen des équations de condition telles que (X), il reviendra au même, et il sera peut-être plus élégant de prendre la somme tant de l’équation (V) que des produits de ces équations de condition par des multiplicateurs indéterminés ; d’égaler ensuite séparément à zéro, dans l’équation somme, les coefficiens de toutes les fonctions et d’éliminer enfin les multiplicateurs indéterminés entre les équations résultantes.
13. Hâtons-nous, avant d’aller plus avant, d’éclaircir ces principes par un exemple.
PROBLÈME I. Quelle est la plus courte ligne plane, entre deux parallèles données ?
Solution. Soient pris l’axe des perpendiculaire et celui des parallèle aux deux droites données, dont nous supposerons les équations
la question se trouvera ainsi réduite à assigner la valeur de en qui rend l’intégrale minimum, entre les limites et
Nous aurons donc ici d’où
