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DU CHIEN.

En construisant donc les deux courbes exprimées par les équations (21), dont la première est une parabole ayant pour axe l’axe des $y,$ son sommet à la nouvelle origine, et son foyer à une distance $a$ au-dessus, tandis que la seconde est une logarithmique, les différences de leurs ordonnées correspondantes seront les ordonnées de la courbe cherchée.

On voit aisément, par la forme de l’équation (19) que la courbe est entièrement située du côté des $x$ positives ; elle l’est également du côté des $y$ positives ; car, pour que $y$ pût être négatif, il faudrait qu’on pût avoir (19)

${\frac {x^{2}}{4a}}<{\frac {a}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {x}{a}},\quad$ou$\qquad e^{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}<\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\,;$

ce qui est impossible, puisqu’on a, en général, $e^{k^{2}}=1+{\frac {k^{2}}{1}}+{\frac {k^{4}}{1.2}}$$+\ldots >k^{2}.$ Cette courbe est donc entièrement située dans l’angle des coordonnées positives. La valeur de $p,$ qui est ici

$p={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {a}{x}}\right),$

fait voir d’ailleurs que $x$ croissant de $a$ à l’infini, $p$ croîtra de zéro à l’infini positif, tandis que $x$ décroissant de $a$ à zéro, $p$ décroît de zéro à l’infini négatif ; et comme d’un autre côté $y$ devient également infinie, soit qu’on fasse $x$ nul ou qu’on le fasse infini ; on en doit conclure que la courbe, constamment convexe vers l’axe des $x,$ a deux branches infinies comme la parabole, avec cette différence que ces deux branches n’ont pas la même courbure. On voit, en effet, que l’une d’elles est hyperbolique, ayant l’axe des $y$ pour asymptote, tandis que l’autre a pour asymptote une parabole située du côté de sa concavité et ayant pour équation

$x^{2}=4ay.$