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INTÉGRALES

lesquelles seront généralement en même nombre que les constantes introduites, et serviront à en assigner les valeurs.

11. Mais si, au contraire, on exige qu’à l’une ou à l’autre limites, ou à toutes les deux, il existe, entre $y$ et ses divers coefficiens différentiels, une ou plusieurs relations données ; $Y,$ toujours indéterminée, ne sera plus dès-lors tout-à-fait arbitraire. Représentons, en effet, une de ces équations par

$\operatorname {f} (y,y',y'',\ldots )=L=0\,;\qquad$(VII)

on devra avoir, pour les diverses courbes que l’on considère,

$\operatorname {f} (y+iY,y'+iY',y''+iY'',\ldots )=0\,;\qquad$

ou, en développant,

$L+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots \right\}{\frac {i}{1}}+\ldots ,$

d’où en retranchant l’équation (VII) et exprimant que l’équation résultante a lieu quel que soit $i,$

$\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots =0.\qquad$(VIII)

Il faudra d’abord substituer dans (VII, VIII) pour $y$ sa valeur en $x$ et en constantes, déduite de l’équation (III) ; puis, en supposant, par exemple, qu’il s’agit de la première limite, mettre pour $x$ sa valeur $a_{0},$ ce qui changera ces équations en celles-ci :

$L_{0}=0,$ (IX) $\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y''_{0}+\ldots =0.\quad$(X)

On pourra avoir plusieurs couples de semblables équations, tant