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PROBLÈME

$1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2n}=0,$

donne

$x=a{\sqrt[{2n}]{-1}},\qquad$(12)

valeur qui ne sera réelle qu’autant que $n$ sera une fonction ayant un dénominateur pair, et qui sera alors égale à $-a.$ La seconde donne

$x=a{\sqrt[{2n}]{\frac {2n-1}{2n+1}}}\,;\qquad$(13)

valeur qui sera toujours réelle, lorsqu’on aura $n>{\frac {1}{2}}\,;$ mais qui, dans le cas de $n<{\frac {1}{2}}$ ne sera réelle qu’autant que $n$ sera une fraction ayant un dénominateur pair. Quant au rayon de courbure au point de départ du chien ou $x=a,$ il sera ${\frac {a}{n}}.$

Passons enfin à la recherche de l’équation de la courbe. En remettant pour $p$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ dans la formule (8), on a

$y+C={\frac {1}{2}}\int \left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}\operatorname {d} x\,;$

c’est-à-dire

$y+C={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}+{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}.$

En se rappelant qu’à $y=0$ doit répondre $x=a,$ on aura

$C={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n-1}}\right\}\,;$

d’où, en retranchant