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PROBLÈME

substituant donc, et supprimant les accens, désormais inutiles, on obtiendra pour l’équation différentielle seconde de la courbe cherchée

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=n{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}.\qquad$(4)

Remarquons d’abord, avant d’aller plus loin, que, d’après la manière dont nous avons procédé, cette équation ne suppose pas essentiellement que les vitesses du chien et de son maître soient constantes ; mais seulement qu’elles sont à chaque instant dans le même rapport. On conçoit, en effet, que la nature de la courbe décrite par le chien ne saurait dépendre des vitesses absolues.

On sait qu’en représentant par $r$ le rayon de courbure d’une courbe en l’un $(x,y)$ de ses points, on a

$r={\frac {\left\{1+({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}\qquad$(5)

en mettant donc dans cette formule pour ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}$ sa valeur (4), il viendra

$r={\frac {x}{n}}\left\{1+({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}})^{2}\right\}\,;\qquad$(6)

d’où l’on voit qu’il n’est pas vrai que le rayon de courbure de la courbe dont il s’agit soit, comme on l’a annoncé dans la Correspondance, proportionnel à son abscisse. On voit en effet que ce rayon est proportionnel au produit de l’abscisse par le quarré de la co-sécante de son inclinaison sur l’axe des x.${\displaystyle }$

Pour obtenir l’intégrale première de l’équation (4), faisons, suivant l’usage, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p\,;$ elle deviendra ainsi