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DU CHIEN.

rectangulaires et l’origine quelconque. Si l’on désigne par $(x',y')$ le point de la courbe où se trouve le chien à un instant quelconque, la tangente en ce point, dirigée vers son maître, aura pour équation

$y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}(x-x')\,;\qquad$(1)

on aura donc la position du maître sur la droite qu’il décrit, ou sa distance à l’origine, en cherchant l’intersection de ce cette tangente avec l’axe des $y,$, c’est-à-dire la valeur de son ordonnée qui répond à $x=0\,;$ désignant donc par $y''$ cette ordonnée, on aura

$y''=y'-x'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}.\qquad$(2)

Or, présentement, si l’on désigne par $n$ le nombre d’unités de longueur que parcourt le maître pendant que son chien en parcourt une seule, et que, suivant l’usage, on représente par $s'$ la longueur de l’arc de courbe commençant à un point quelconque et se terminant en $(x',y'),$ on aura

${\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} s'}}=n,\quad$ou$\quad {\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x'}}=n{\frac {\operatorname {d} s'}{\operatorname {d} x'}}\,;\qquad$(3)

mais, d’une part, en différentiant l’équation (2) et y considérant $x'$ comme la variable indépendante, il vient

${\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} s'}}=-x'{\frac {\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} x'^{2}}}\,;$

d’une autre, on a, en remarquant que, $s'$ croissant, $x'$ diminue

${\frac {\operatorname {d} s'}{\operatorname {d} x'}}=-{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}}}\,;$