ment en ligne droite ; de sorte que le point intersection des droites qui divisent en deux parties égales les trois angles du triangle pourra aussi être considéré comme celui où se croisent les perpendiculaires abaissées de chaque sommet sur la direction du côté opposé, dans le triangle et que le triangle aura ses sommets aux pieds de ces perpendiculaires.
Remarquons présentement que, lorsque deux triangles ont un côté égal, et que l’angle opposé dans l’un est supplément de l’angle opposé dans l’autre, ces deux triangles sont nécessairement inscriptibles à un même cercle ou à des cercles égaux ; puisqu’en les opposant base à base, on formera un quadrilatère ayant deux angles opposés supplément l’un de l’autre ; et conséquemment inscriptible au cercle ; et que le cercle qui lui sera circonscrit le sera en même temps aux deux triangles dont il s’agit.
Or, à cause des angles droits opposés en et le quadrilatère est inscriptible au cercle ; donc l’angle et conséquemment son opposé au sommet est supplément de l’angle d’où il suit, par ce qui vient d’être dit ci dessus, que les deux triangles et sont inscriptibles à des cercles égaux ; et, comme on prouverait évidemment la même chose de chacun des deux triangles comparés au même triangle il s’ensuit que les circonférences qui passent par les centres de trois quelconques des quatre cercles qui touchent à la fois les trois côtés d’un même triangle sont toutes égales entre elles, et ont conséquemment même rayon. Il reste donc à établir que le rayon de l’une d’elles, de celle qui est circonscrite au triangle par exemple, est double du rayon de celle qui est circonscrite au triangle .
Pour y parvenir, remarquons d’abord que le rayon du cercle circonscrit à un triangle étant égal au produit de ses trois côtés divisé par l’aire du triangle, et l’aire d’un triangle étant la moitié du produit de deux quelconques de ses côtés par le sinus de l’angle compris, il s’ensuit que le rayon du cercle circonscrit à un triangle
