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PROPRIÉTÉ DE MINIMUM

Corollaire, Il suit de là qu’entre tous les corps de même surface, la sphère est celui du plus grand volume. Supposons, en effet, que l’on prétende que le volume de moindre étendue, sous une surface donnée $S,$ soit un volume $V$ différent de la sphère. Soit faite une sphère $\Sigma$ équivalente à $V,$ sa surface $S'$ sera, par ce qui précède $<S\,;$ donc, si l’on fait une sphère $\Sigma '$ dont la surface soit égale à $S$ cette sphère aura un volume plus grand que $\Sigma ,$ et conséquemment $>V\,;$ d’où il résulterait que $V$ ne serait pas le plus grand volume contenu sous la surface $S,$ ainsi qu’on l’avait supposé.

THÉORÈME IV. De toutes les surfaces courbes qui, se terminant à une même circonférence de cercle, renferment le même volume entre elles et le plan de ce cercle, la calotte sphérique est celle de moindre étendue.

Démonstration. Supposons qu’il n’en soit pas ainsi. Soit la calotte sphérique $C$ et une autre surface $S<C$ enfermant le même volume $V$ et soit achevée la sphère. Supposons que la surface du surplus soit $C'$ enfermant un volume $V'\,;$ nous aurions donc ainsi un même volume $V+V'$ enfermé d’une part par une surface sphérique $C+C',$ et d’une autre par une surface moindre $S+C',$ ce qui est impossible (Théorème III)^[1].

Corollaire. Par un raisonnement tout semblable à celui dont nous ayons fait usage, dans le précédent corollaire, on démontrera qu’à l’inverse de toutes les surfaces courbes de même étendue, terminées à une même circonférence de cercle, la calotte sphérique est celle qui enferme le plus grand volume entre elle et ce cercle.

1. Ceci explique, en particulier, pourquoi les bulles de savon sont sensiblement sphériques ; elles le seraient rigoureusement si elles étaient partout d’une épaisseur uniforme, et si la pesanteur n’existait pas.
   J. D. G.