LEMME I. De tous les triangles de même base et qui ont leur sommet sur une même droite indéfinie, celui dans lequel la somme des deux autres côtés est la moindre possible, est celui dans lequel ces deux côtés font des angles égaux avec la droite indéfinie.
Démonstration. Soient (fig. 11) la base commune à tous ces triangles, et la droite indéfinie sur laquelle leurs sommets doivent être situés ; de l’une quelconque des extrémités de cette base soit abaissée sur une perpendiculaire prolongée au-delà de cette droite d’une quantité En quelque point de que l’on veuille placer le sommet de l’un des triangles dont il s’agit, on aura toujours donc sera la moindre possible ; quand sera la moindre possible ; c’est-à-dire, lorsque le point sera en ligne droite avec les points et mais alors les angles et seront égaux, comme opposés par le sommet ; puis donc que, par suite de la construction, les angles et sont aussi égaux ; il s’ensuit que les angles et doivent aussi être égaux, comme nous l’avons annoncé.
LEMME II. De tous les trapèzes qui ont bases égales et même hauteur, le trapèze isocèle, c’est-à-dire, celui dans lequel les deux côtés non parallèles sont égaux, est aussi celui dans lequel la somme des longueurs de ces deux côtés est la moindre possible.
Démonstration. Soit (fig. 12) la base commune à tous ces trapèzes, et soit la droite indéfinie sur laquelle doit se trouver l’autre base ; en portant la longueur de cette dernière sur en vers de quelque manière que l’on pose cette base sur on aura toujours d’où il suit que, pour que soit la moindre possible, il sera nécessaire et il suffira que soit elle-même la plus petite possible ; donc (Lemme I.) les angles et devront être égaux ; il en sera donc de même de leurs alternes internes et on devra donc avoir et par conséquent Le trapèze devra donc être isocèle ; ainsi qu’il avait été annoncé.
