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RÉSOLUES.

$p={\sqrt {\frac {{\sqrt[{3}]{C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}+1}{{\sqrt[{3}]{C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}-1}}}\,;$

substituant cette valeur dans l’équation

${\frac {y}{x}}={\frac {1}{p}}.{\frac {1-3p^{2}}{p^{2}-3}}\,;$

et changeant la constante $C$ en ${\frac {1}{k}},$ il vient

${\frac {y}{x}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}+2}{{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}-2}}.{\sqrt {\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}-1}{{\sqrt[{3}]{\frac {x^{2}+y^{2}}{k^{2}}}}+1}}}.\qquad$(2)

III. En passant, pour plus de simplicité, aux coordonnées polaires, les équations (1 et 2) deviennent

$r=Ce^{\frac {t{\sqrt {{\sqrt[{3}]{4}}-1}}}{\sqrt[{3}]{2}}},\qquad$(1)

$\operatorname {Tang} .t={\frac {\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}+2}{\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}-2}}{\sqrt {\frac {\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}-1}{\left({\frac {r}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}+1}}}\,;\qquad$(2)

$r$ étant le rayon vecteur et $t$ l’angle qu’il fait avec l’axe des $x.$

On voit, à cause des constantes arbitraires $C$ et $k,$ qu’il y a une infinité de courbes qui résolvent le premier des deux problèmes, sans résoudre le second, et une infinité de courbes qui résolvent le second sans résoudre le premier.