avec cette droite, ce qui est impossible, puisqu’alors ses tangentes ne pourraient être perpendiculaires à la direction
On ne peut donc résoudre le problème qu’en faisant tour-à-tour abstraction de chacune des deux conditions ; et c’est aussi ce que nous allons faire successivement ; nous montrerons ensuite que les deux courbes obtenues sont essentiellement différentes.
I. Nous venons de voir qu’en exigeant seulement que le cube construit sur soit le double du cube construit sur l’angle est tout-à-fait déterminé ; l’angle l’est donc aussi ; la question revient donc alors simplement à trouver une courbe dans laquelle les rayons vecteurs fassent un angle constant avec la tangente à leur extrémité.
Soit la tangente tabulaire de cet angle, et soit fait, suivant l’usage, l’angle que fait avec l’axe des étant \frac{y}{x}, nous devrons avoir
équation dont l’intégrale est
C’est l’équation d’une spirale logarithmique, comme l’on pouvait bien s’y attendre[1].
Dans le cas particulier qui nous occupe, on a
- ↑ Voyez la page 136 du VIII.e volume du présent recueil.