Solution du problème de géométrie proposé à la pag. 321
du XII.e volume des Annales ;
PROBLÈME. On demande l’équation d’une courbe telle que, si de l’origine on mène un rayon vecteur quelconque et une perpendiculaire à la tangente à son extrémité, 1.o le cube construit sur le rayon vecteur soit double en volume du cube construit sur la perpendiculaire à la tangente ; 2.o que l’angle formé par la perpendiculaire avec l’axe des soit le tiers de l’angle formé par le rayon vecteur avec la même droite ?
Solution. Ce problème est évidemment un problème plus que déterminé, non pas de ceux qui renferment seulement quelques conditions superflues, mais bien de ceux dans lesquels les conditions sont incompatibles. Soient, en effet, l’origine, la direction de l’axe des un quelconque des points de la courbe cherchée, et le pied de la perpendiculaire abaissée de sur la tangente en ce point. Puisque le rapport du cube de à celui de est donné, le rapport de ces deux droites est aussi donné ; le triangle rectangle est donc donné d’espèce ; l’angle de ce triangle est donc donné ; mais cet angle doit être les deux tiers de et le double de donc ces derniers sont aussi donnés ; donc les directions et sont tout-à-fait fixes et déterminées ; donc tous les points de la courbe cherchée devraient être sur la droite cette courbe devrait donc se confondre
