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QUESTIONS

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x)={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad (\beta )$

nous observerons, à notre tour, qu’en changeant $x$ en ${\frac {1}{2}}\varpi -x,$ on déduit de ces formules

$e^{a\operatorname {Sin} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Cos} .x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+\ldots \quad (\gamma )$

$e^{a\operatorname {Sin} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Cos} .x)=$

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \quad (\delta )$

M. Querret déduit bien facilement le premier de ces trois derniers développemens de sa formule générale. En continuant, en effet de faire $\operatorname {f} (a)=e^{a},$ la série (3) deviendra

${\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

dont la somme sera conséquemment

${\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}-e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2{\sqrt {-1}}}},$

ou bien

${\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}.\left(e^{+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}-e^{-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},$

ou enfin

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x).$

M. C. G. observe que la formule