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DÉVELOPPEM.^t DES PUISSANCES DES COSINUS.

$T=t{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(t+t^{-1}\right)^{n}.$

En exécutant donc la différentiation dans le second membre de cette équation, on aura

$T=n\left(t+t^{-1}\right)^{n-1}\left(t-t^{-1}\right).$

On voit donc que M. Deflers suppose que le coefficient différentiel du développement d’une fonction est égal au développement du coefficient différentiel de cette fonction. On verra tout-à-l’heure si cette supposition est toujours permise. En l’admettant, on voit que la dernière valeur de $T$ se réduit à zéro lorsqu’on fait $t=1\,;$ mais on a aussi, dans ce cas,

$T=n+{\frac {n}{1}}(n-2)+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}(n-4)+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}(n-6)+\ldots$

comme il résulte de la première valeur de $T\,;$ donc le second membre de cette dernière équation est nul. Telle est la conséquence qu’en a tirée M. Deflers.

Mais nous observerons que la fonction $n\left(t+t^{-1}\right)^{n-1}\left(t-t^{-1}\right)$ n’est pas égale à la première valeur de $T\,;$ car, en développant le binome $\left(t+t^{-1}\right)^{n-1}$ et en effectuant la multiplication par $t-t^{-1},$ on trouve, en s’arrêtant au quatrième terme

$n\left(t+t^{-1}\right)^{n}\left(t-t^{-1}\right)=$

${\begin{array}{r|r|r|l}nt^{n}+n{\frac {n-1}{1}}&t^{n-2}+n.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}&t^{n-4}+n.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {n-3}{3}}&t^{n-6}\\\\-n&-n.{\frac {n-1}{1}}&-n.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}&-n.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {n-3}{3}}t^{n-1}\end{array}}$

d’où l’on voit que, quelque loin qu’on pousse le développement, il restera toujours un terme dans la seconde ligne qui ne sera détruit par aucun de ceux de la première. Il est donc certain que, toutes réductions faites ; on aura