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ÉQUATIONS
et dans laquelle
désigne une fonction périodique déterminée du troisième ordre, c’est-à-dire, telle que
En changeant
en
cette équation deviendra
![{\displaystyle \operatorname {F} \left\{\operatorname {f} x,\psi (\operatorname {f} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (x)\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8487997afa9128c2d230bf5aaed681ef4956c1)
faisant encore la même transformation, nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {F} \left\{\operatorname {f} ^{2}x,\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (x),\psi (\operatorname {f} x)\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331be53b8dd82020481bc79d7bcb8c0e649fd210)
éliminant enfin
et
entre ces trois équations, l’équation résultante nous donnera la valeur de ![{\displaystyle \psi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bb09bf13b03616e91bea2780068fa7782fe195)
L’équation du problème de géométrie que nous avons traité au commencement de cet article, offrant déjà un exemple de ce cas, nous nous bornerons à en offrir ici un second. Soit l’équation
![{\displaystyle \psi x+a\psi \left({\frac {1}{1-x}}\right)={\frac {1}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650ef18168d209db5eb4b851e9aa1b6c03ea7a1a)
où
est une fonction périodique du troisième ordre ; en changeant
en
il viendra
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{1-x}}\right)+a\psi \left({\frac {x-1}{x}}\right)=1-x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b4ac93e9254c6957089ce3c5e87d6f5dd70fe9)
faisant encore le même changement dans cette dernière, on aura
![{\displaystyle \psi \left({\frac {x-1}{x}}\right)+a\psi x={\frac {x}{x-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0e79f0aaee2d61454fdbccdc90b118fe196fd0)
éliminant enfin
et
entre ces trois équations, nous tirerons de l’équation résultante