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ÉQUATIONS

$\psi ({\frac {1}{x}})-a\psi (x)=e^{\frac {1}{x}}\,;$

et, en éliminant $\psi ({\frac {1}{x}})$ entre l’une et l’autre, il viendra

$\psi (x)={\frac {e^{x}+ae^{\frac {1}{x}}}{1-a^{2}}}.$

Soit encore l’équation

$(\psi x)^{2}.\psi {\frac {1-x}{1+x}}=c^{2}x,$

où ${\frac {1-x}{1+x}}$ est également fonction périodique du second ordre ; en y changeant $x$ en ${\frac {1-x}{1+x}}$ elle deviendra

$\left(\psi {\frac {1-x}{1+x}}\right)^{2}.\psi x=c^{2}{\frac {1-x}{1+x}}\,;$

éliminant ensuite $\psi {\frac {1-x}{1+x}}$ entre ces deux équations, on tirera de l’équation résultante

$\psi x={\sqrt[{3}]{c^{2}x^{2}{\frac {1+x}{1-x}}}}.$

Dans la vue de rendre le calcul plus facile, M. Babbage a souvent recours à des transformations dont un peu d’habitude de ce genre de calcul apprend bientôt à faire usage. Soit, par exemple, l’équation

${\frac {\psi x}{\psi x-x}}+x{\frac {\psi (1-x)}{\psi (1-x)-(1-x)}}=1\,;$

au lieu de la traiter immédiatement, comme les précédentes, posons