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ÉQUATIONS
même manière que nous l’avons fait pour le second ordre ; posant en effet,
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)={\frac {a+bx}{c+dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aeac482c42266fece1383f954d3b2b99f7a690a)
nous aurons successivement
![{\displaystyle \operatorname {f} ^{2}(x)={\frac {a+b{\frac {a+bx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a+bx}{c+dx}}}}={\frac {a(b+c)+\left(ad+b^{2}\right)x}{\left(ad+c^{2}\right)+d(b+c)x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2105cfc5d65402423cf6010a7576e63a9eccf21f)
![{\displaystyle \operatorname {f} ^{3}(x)={\frac {a(b+c)+\left(ad+b^{2}\right){\frac {a+bx}{c+dx}}}{\left(ad+c^{2}\right)+d(b+c){\frac {a+bx}{c+dx}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f201ce13c5af08f96d59b28f54727a1cdd65e06e)
![{\displaystyle ={\frac {a\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)+\left(2abd+acd+b^{3}\right)x}{\left(2acd+abd+c^{3}\right)+d\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5bf245b82e08d3fbdf028f2f8ca308ba7ae6eb)
afin donc qu’on ait
il faudra qu’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)=0,\\&d\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263e2ed4fede9c51dfe3c9f17c4bf9dd2ac208ca)
![{\displaystyle 2acd+abd+c^{3}=2abd+acd+b^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5c475a39408d37180269f588c766eb971ad950)
la dernière de ces trois équations revenant à
![{\displaystyle (b-c)\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fc1c41bb7f42ed6b8370e544a09c55567678ee)
il s’ensuit qu’elles seront toutes satisfaites en posant simplement
d’où
ce qui donne, pour la fonction cherchée,
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)={\frac {a(a+bx)}{ac-\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1363a8572ebe958b38323d6d1346a977e82eecf)