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FONCTIONNELLES.
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3659e26920688df9fa12aa41c44c5f63f8e89d)
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {f} ^{2}(x)={\frac {a+b{\frac {a+bx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a+bx}{c+dx}}}}={\frac {a(c+dx)+b(a+bx)}{c(c+dx)+d(a+bx)}}={\frac {a(b+c)+\left(ad+b^{2}\right)x}{\left(ad+c^{2}\right)+d(b+c)x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6bc701912bd04f8998875f00e4cf871bd6e481)
afin donc d’avoir
il faudra poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a(b+c)=0,\\&d(b+c)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721fb6fe51ffe3c2e1a89bbee137377c1f88e750)
![{\displaystyle ad+c^{2}=ad+b^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd6836ed413c5d815d0c77d71a16606936dccdd)
ou
![{\displaystyle \quad c^{2}=b^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322a1fb4c612a4d04e3526a8ed258a907659d6dc)
on satisfait à la fois à ces trois conditions, en posant
et laissant
arbitraires, de sorte qu’on a
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)={\frac {a-cx}{c+dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538cea0d2cd59c21a540cf13dc567a040fbc75dd)
il en résulte en effet
![{\displaystyle \operatorname {f} ^{2}(x)={\frac {a-c{\frac {a-cx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a-cx}{c+dx}}}}={\frac {a(c+dx)-c(a-cx)}{c(c+dx)+d(a-cx)}}={\frac {\left(ad+c^{2}\right)x}{ad+c^{2}}}=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af09cfa068825b4dec864e4a7d6a6da5de1f30f)
Pour donner aussi un peu de généralité à la fonction
posons
![{\displaystyle \phi (x)={\frac {e+fx}{g+hx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731c1f3c09d63562512d36ba173164121263983a)
en observant que, si l’on pose
![{\displaystyle {\frac {e+fx}{g+hx}}=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52253fb36088fe21c428c15c4bb486a89cc8d5a)
il en résulte