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APPARENS.

$\mathrm {Pour\ P} \left\{{\begin{aligned}x=&\operatorname {F} _{x}(t),\\y=&\operatorname {F} _{y}(t),\\z=&\operatorname {F} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right\}(1)\qquad \mathrm {Pour\ } p\left\{{\begin{aligned}x=&\operatorname {f} _{x}(t),\\y=&\operatorname {f} _{y}(t),\\z=&\operatorname {f} _{z}(t)\,;\end{aligned}}\right\}(2)$

c’est-à-dire que ce seront là, comme l’on s’exprime en mécanique, les équations de leur mouvement de translation, entre lesquelles conséquemment l’élimination de $t$ ferait connaître les trajectoires qu’ils décrivent.

Il s’agira présentement d’exprimer la nature du mouvement de rotation de $p.$ Pour cela, concevons que, par ce point, on ait conduit trois axes rectangulaires tout-à-fait fixes par rapport à lui, mais mobiles avec lui dans l’espace ; désignons-les par $x',y',z'\,;$ leur situation à l’époque $t$ par rapport aux axes fixes dépendra de cette époque, et on pourra supposer alors leurs équations telles qu’il suit :

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Pour\ } x',&{\frac {x-\operatorname {f} _{x}(t)}{\phi _{x}(t)}}={\frac {y-\operatorname {f} _{y}(t)}{\phi _{y}(t)}}={\frac {z-\operatorname {f} _{z}(t)}{\phi _{z}(t)}},\\\\\mathrm {Pour\ } y',&{\frac {x-\operatorname {f} _{x}(t)}{\psi _{x}(t)}}={\frac {y-\operatorname {f} _{y}(t)}{\psi _{y}(t)}}={\frac {z-\operatorname {f} _{z}(t)}{\psi _{z}(t)}},\\\\\mathrm {Pour\ } z',&{\frac {x-\operatorname {f} _{x}(t)}{\chi _{x}(t)}}={\frac {y-\operatorname {f} _{y}(t)}{\chi _{y}(t)}}={\frac {z-\operatorname {f} _{z}(t)}{\chi _{z}(t)}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

et dans lesquelles il est permis de supposer

$\left.{\begin{aligned}\left\{\phi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\phi _{z}(t)\right\}^{2}=1,\\\left\{\psi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\psi _{z}(t)\right\}^{2}=1,\\\left\{\chi _{x}(t)\right\}^{2}+\left\{\chi _{y}(t)\right\}^{2}+\left\{\chi _{z}(t)\right\}^{2}=1.\end{aligned}}\right\}\quad (4)$

En outre, parce que ces axes sont rectangulaires, on aura aussi