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INTÉGRALES

ANALISE TRANSCENDANTE.

Recherches sur les intégrales définies ;

Par M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.

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I. L’intégrale

$\int e^{-\zeta }z^{a}\operatorname {d} z,$

prise depuis $z=0$ jusqu’à $z={\frac {1}{0}},$ se réduit à une fonction de $a$ seul ; de sorte qu’en convenant de représenter cette fonction par $a!,$ on a

$\int e^{-\zeta }z^{a}\operatorname {d} z=a!\quad {\begin{array}{|c|}\hline z=0\\z={\frac {1}{0}}\\\hline \end{array}}.$

Faisant $z=mz',\ m$ étant une quantité positive quelconque, mais indépendante de $z',$ on aura, en substituant, après avoir effacé les accens,

$\int e^{-m\zeta }z^{a}\operatorname {d} z=a!m^{-(a+1)}\quad {\begin{array}{|c|}\hline z=0\\z={\frac {1}{0}}\\\hline \end{array}}\,;\qquad$(1)

d’où, en différentiant par rapport à $m,$ et faisant ensuite $m=1$,